Soal dan Pembahasan Invers Transformasi Laplace - 1

Carilah \( h(t) \) dari \( H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} \)

Pembahasan:

Perlu melakukan invers transformasi Laplace. Berikut adalah langkah-langkah yang bisa diikuti untuk mendapatkan \( h(t) \) dari fungsi transfer \( H(s) \):

Langkah 1: Faktorkan penyebut dari \( H(s) \)

\[ H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} = \frac{s^2}{s(s^2 + 4s + 4)} = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} \]

Langkah 2: Ubah pecahan ke dalam bentuk pecahan parsial yang lebih sederhana sehingga mudah ditentukan inversnya

\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 2} + \frac{C}{(s + 2)^2} \]

\[ s^2 = A(s + 2)^2 + Bs(s + 2) + Cs \]

\[ s^2 = A s^2 + 4A s + 4A + B s^2 + 2B s + C s \]

\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]

Langkah 3: Menentukan Koefisien

\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]

Dengan membandingkan koefisien, kita dapatkan:

• \(1 = A + B\)
• \(0 = 4A + 2B + C\)
• \(0 = 4A \Rightarrow A = 0\)

Dari \(1 = A + B\), kita dapatkan \(1 = 0 + B \Rightarrow B = 1\)

Dari \(0 = 4A + 2B + C\), kita dapatkan \(0 = 0 + 2 \cdot 1 + C \Rightarrow 0 = 2 + C \Rightarrow C = -2\)

Langkah 4: Pecahan parsial

Substitusi \(A = 0\), \(B = 1\), dan \(C = -2\) ke dalam \( H(s) \):

\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{0}{s} + \frac{1}{s + 2} + \frac{-2}{(s + 2)^2} \]

\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]

Langkah 5: Invers Transformasi Laplace

\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)} \right\} = e^{-2t} \]

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)^2} \right\} = t e^{-2t} \]

Maka:

\[ h(t) = e^{-2t} - 2t e^{-2t} \]

\( Grafik: h(t) = e^{-2t} - 2t e^{-2t} \)

 [05120240602b/b]